Diagrama de Bode de magnitud

Saludos a todos de nuevo, después de una pequeña pausa debido a los exámenes de septiembre, volvemos con ganas para escribir sobre una herramienta muy utilizada sobre todo en electrónica, pero que también se recurre a ella en otras disciplinas. En general, podemos decir que se puede utilizar allá donde hallan sistemas físicos con ecuaciones de por medio. Se trata del diagrama de Bode de magnitud, una extraordinaria manera de estudiar sistemas físicos desde el punto de vista de la frecuencia. En este artículo intentáremos explicar que es, y, particularizando para sistemas electrónicos, cómo podemos obtenerlo analíticamente.

Antes de entrar en detalles, y concretando ya para sistemas electrónicos, se hace necesario explicar que es la ganancia de un sistema y como se trabaja con ella. Una ganancia no es más que la relación entrada salida de una variable. Por ejemplo, si tenemos un amplificador de audio (o sea que el amplificador es nuestro sistema) y definimos la entrada del sistema como la tensión de la entrada de línea (Vl) que llega al amplificador y la salida del sistema como la tensión que llega a los altavoces (Val) la ganancia será simplemente su relación, es decir, Val/Vl. Así, si la ganancia es 1, los dos voltajes son iguales, si la ganancia es 2, el voltaje de salida es el doble del de entrada. Dándole volumen al amplificador lo que haremos será aumentar la ganancia del sistema. Normalmente la ganancia se expresa en decibelios. Para pasar una ganancia 'x' a decibelios simplemente hay que hacer la siguiente operación:

db=20*log(x)

Fijaros lo intuitivo que resulta trabajar en decibelios; si la ganancia es 1, en decibelios es 0, si la ganancia es mayor que 1 (amplifica), entonces en decibelios será positiva, y si es menor que uno (atenúa), en decibelios será negativa. Bien, una vez explicado esto podemos entrar en materia.

¿Qué es el diagrama de Bode de magnitud? De manera más o menos rigurosa, podemos decir que el diagrama de Bode (a partir de ahora me referiré al diagrama de Bode de magnitud simplemente como diagrama de Bode) es un gráfico que muestra la ganancia de un sistema en función de la frecuencia de la variable de entrada. De aquí se desprende que la ganancia de un sistema no tiene porque ser constante con la frecuencia, es decir, que puede depender de una función. Por ejemplo, pensemos en un filtro pasa-bajos activo de ganancia 0 (en db). A frecuencias bajas de la señal de entrada (Vin), la ganancia será 0dB, es decir, la tensión de salida (Vout)tendrá la misma amplitud que la tensión de entrada, pero a medida que aumentemos la frecuencia la ganancia ira cayendo, a frecuencias altas (por ejemplo 10.000Hz) la ganancia será de por lo menos -60dB, o sea, que la amplitud de la tensión de salida habrá disminuido notablemente. La función que relaciona la entrada con la salida se llama función de transferencia G(x,y,z,...), es decir, Vout/Vin=G(x,y,z,...). Lo que nos interesa para poder dibujar el diagrama de Bode es que esta función dependa de la frecuencia, así tendremos la ganancia expresada en función de la frecuencia Vout/Vin=G(w), donde w es obviamente la frecuencia.

Así pues, si representamos en una gráfica la ganancia del sistema para cada frecuencia estaremos dibujado el diagrama de Bode. El diagrama de Bode se obtiene analíticamente a partir de la ecuaciones que relacionan la variable de entrada con la de salida y mediante la transformada de Fourier. En el ejemplo del amplificador, estas ecuaciones serán previsiblemente la ley de Ohm, la ecuación de la bobina, la del condensador, etc.. Las ecuaciones suelen ser diferenciales y estar expresadas en función del tiempo, ¿Cómo es posible llegar a representar el diagrama de Bode a partir de ecuaciones diferenciales que además dependen del tiempo, donde para nada aparece la frecuencia? la respuesta es, como hemos comentado, a partir de a transformada de Fourier. El procedimiento genérico para obtener el diagrama de Bode de un sistema es el siguiente:

1. Definir una entrada y una salida del sistema
2. Plantear las ecuaciones que describen el sistema.
3. Obtener sus transformadas de Fourier. De esta manera pasaremos de funciones que dependen del tiempo a funciones que dependen de la frecuencia.
4. A partir de las ecuaciones ya transformadas, obtener la función de transferencia.
5. Representar gráficamente, en decibelios, la función de transferencia. Es complicado representarla a mano ya que son curvas logarítmicas, pero existe un método para dibujarlas de manera aproximada a base de rectas y directamente en dB.

Vamos a explicar a partir de un ejemplo como se hace. Nuestro ejemplo será un filtro RC pasa-bajos.

1. Definir una entrada y una salida:

Sabemos que el circuito de un filtro pasa-bajos es el siguiente.

Como se ve, hemos definido la entrada como el voltaje entre a resistencia y masa, y la salida como el voltaje en bornes del condensador.

2. Plantear las ecuaciones que describen el sistema:

Puesto que se trata de un sistema eléctrico, las ecuaciones que relacionarán la entrada y la salida serán seguramente:

• Leyes de Kirchoff.
• Ley de Ohm.
• Ecuación del condensador.

3 . Obtener sus transformadas de Fourier:

No vamos ha entrar en detalles, pero para obtener la transformada de Fourier de una función existen unas tablas que permiten hallar la transformada directamente, sin necesidad de resolver la complicada integral que aparece en la definición de la transformada de Fourier. Otra manera de hacerlo sería calcular la transformada de Laplace y sustituir la S de Laplace por 'jw'; el resultado sería idéntico.

La transformada de Fourier de las ecuaciones que vamos a utilizar en este ejemplo serán:

Fijaros como en la ecuación del condensador la derivada respecto del tiempo desaparece lo que permite algebraicamente hallar la relación entre voltaje e intensidad, es decir, la impedancia V(jw)/I(jw)=1/C*jw=Zc (Zc=impedancia condensador). Como veis aparece la frecuencia pero también aparece 'j', es decir, se trata de números complejos.

4. Obtener la función de transferencia:

Ahora lo que hay que hacer es operar con estas ecuaciones hasta hallar la relación Vout/Vin. Aquí es donde hace falta cierta habilidad para manipular las ecuaciones. Volviendo al ejemplo del filtro, Vout no es más que la tensión que hay en en condensador. Así pues, el primer paso será obtener la intensidad que circula por el condensador, que será la misma que la que circula por la resistencia (están en serie). El cálculo será el siguiente:

5. Representar gráficamente la función de transferencia:

Esto es complicado por que para hacerlo hay que obtener el modulo de la ganancia (recordemos que se trata de un numero complejo) para cada valor de la frecuencia y luego pasarlo a decibelios. Por ello se utiliza lo que se conoce como aproximación asintótica y que permite, mediante una serie de reglas sencillas, obtener una representación aproximada de la función de transferencia con la ganancia expresada directamente en dB. Pero antes de nombrar las reglas hay que comentar alguna cosilla sobre las funciones de transferencia. Una función de transferencia se presentará siempre como una fracción donde tanto el numerador como el denominador serán polinomios donde la variable del polinomio es jw. A las raíces del numerador (valores de jw para los cuales el numerador se hace cero) se les llaman 'ceros' y a las raíces del denominador (valores de jw para los cuales el denominador se hace cero) 'polos', por ejemplo, para la siguiente función de transferencia tenemos los siguientes polos y ceros:

Para poder representar el diagrama de Bode tendremos que tener tanto el polinomio del numerador como el del denominador descompuestos en raíces simples, como en el ejemplo anterior.

Otra propiedad importante es la ganancia estática. La ganancia estática es el valor de la ganancia para jw=0. En el ejemplo anterior resulta 1, que en decibelios es 0dB.

Bien, ahora ya podemos enunciar las reglas para construir el diagrama de Bode de magnitud de una función de transferencia:

1. La ganancia se expresa en decibelios y la frecuencia en radianes y en escala logarítmica.
2. La ganancia estática suma un valor constante de 20log(k) para todas las frecuencias, donde k es la ganancia estática.
3. Cada polo simple incrementa la pendiente en -20dB/dec a partir del valor absoluto del polo.
4. Cada cero simple incrementa la pendiente en +20dBdB/dec a partir del valor absoluto del cero.
5. Cada par de polos complejos conjugados incrementan la pendiente en -40db/dec a partir del modulo de los polos.
6. Cada par de ceros complejos conjugados incrementan la pendiente en +40db/dec a partir del modulo de los polos.
7. Un polo en el origen (jw=0), incrementa la pendiente en -20db/dec para todas las frecuencias pasando por el punto w=1, Ganancia=0dB.
8. Un cero en el origen (jw=0), incrementa la pendiente en +20db/dec para todas las frecuencias pasando por el punto w=1, Ganancia=0dB.

Y eso es todo, simplemente calculamos la ganancia estática y vamos recorriendo los polos y ceros del menor al mayor aumentando o disminuyendo la pendiente según el tipo de polo o cero que nos encontremos. Para el ejemplo del filtro RC pasa-bajos tendríamos lo siguiente:

• La ganancia estática es 20log(1)=0dB.
• Tenemos un polo (en valor absoluto) en 1/R1*C1 que incrementará la pendiente en -20dB/dec.

El diagrama de Bode aproximado será:

El diagrama real es:

Vemos que la aproximación nos da una idea aproximada de cómo responderá la ganancia del circuito (filtro RC pasa-bajos) en función de la frecuencia de la tensión de entrada.

Y esto es todo, con estas sencillas reglas y la función de transferencia podemos, analíticamente, hacernos una idea de cualquier circuito, siempre que seamos capaces de hallar la función de transferencia, ya que a medida que empezamos a meter componentes (condensadores, bobinas, diodos, operacionales...), la cosa se complica.

Al final me ha quedado un post bastante largo y denso, así que tanto si os ha parecido interesante como cansino, sólo con que hayáis llegado hasta aquí me doy por satisfecho ^-^.

Saludos y hasta la próxima!!

...by Pablo.